$\overline{(\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}})+\overline{\mathrm{AB}}}$ এর সরলীকৃত মান কত?

বুলিয়ান এক্সপ্রেশনটিকে সরলীকরণের জন্য নিম্নলিখিত ধাপগুলি অনুসরণ করা হবে:

    
1. প্রথমে, প্রদত্ত এক্সপ্রেশনটি হলো: \( \overline{(\overline{A} + \overline{B}) + \overline{AB}} \)
    
2. বুলিয়ান বীজগণিতের ডি-মরগানের উপপাদ্য (De Morgan's Theorem) অনুযায়ী, \( \overline{X+Y} = \overline{X} \cdot \overline{Y} \)। এই উপপাদ্যটি এক্সপ্রেশনের বাইরের বারটিতে প্রয়োগ করা হবে। এখানে \( X = (\overline{A} + \overline{B}) \) এবং \( Y = \overline{AB} \)।     
   \( \overline{(\overline{A} + \overline{B}) + \overline{AB}} = \overline{(\overline{A} + \overline{B})} \cdot \overline{\overline{AB}} \)
    
3. এখন, \( \overline{\overline{AB}} \) অংশটিতে ডাবল নেগেশন উপপাদ্য (Double Negation Theorem) \( \overline{\overline{X}} = X \) প্রয়োগ করা হবে।     
   \( \overline{\overline{AB}} = AB \)     
   সুতরাং, এক্সপ্রেশনটি দাঁড়ায়: \( \overline{(\overline{A} + \overline{B})} \cdot AB \)
    
4. আবার, \( \overline{(\overline{A} + \overline{B})} \) অংশটিতে ডি-মরগানের উপপাদ্য \( \overline{X+Y} = \overline{X} \cdot \overline{Y} \) প্রয়োগ করা হবে, যেখানে \( X = \overline{A} \) এবং \( Y = \overline{B} \)।     
   \( \overline{(\overline{A} + \overline{B})} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} \)
    
5. পুনরায় ডাবল নেগেশন উপপাদ্য ব্যবহার করে:     
   \( \overline{\overline{A}} = A \)     
   \( \overline{\overline{B}} = B \)     
   সুতরাং, \( \overline{(\overline{A} + \overline{B})} = A \cdot B \)
    
6. এখন এই মানটিকে মূল এক্সপ্রেশনে প্রতিস্থাপন করা হবে:     
   \( (A \cdot B) \cdot AB \)
    
7. বুলিয়ান বীজগণিতের আইডেম্পোটেন্ট উপপাদ্য (Idempotent Law) \( X \cdot X = X \) অনুযায়ী:     
   \( AB \cdot AB = AB \)

অতএব, প্রদত্ত এক্সপ্রেশনটির সরলীকৃত মান হলো \( AB \)।